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数学の質問

こんばんは。
学立会の岡です!

今日は大学受験ラボでお問い合わせいただいた数学の質問について回答致します。

今回質問があったのは、積分の問題についてです。

x^2+y^2≦1…①
x^2+z^2≦1…②
y^2+z^2≦1…③

①~③を満たすようなVの体積を求めよ。

という問題についてです。

こちらは平面α(x=tとする)で立体Vを切って平面にしてから考えます。
そしてその平面を積分区間でスライドさせたときに体積が導出されるのです。
そのときに積分計算を使用します。

まずは、tの定義域を調べましょう。
-1≦t≦1…④
またそれと同時に
y^2≦1-t^2…①’
z^2≦1-t^2…②’
のような値も導出できると思います。
①’②’と③より、
y^2+z^2≦2-2t^2…⑤
この③と⑤の区域を見定めることができれば、この問題の第一関門は突破です。

ここで①’②’によってなされる正方形の内部及び周りをCとして
y^2+z^2=1の円をKとすると
CがKに含まれないことが必要になるので、
(前提条件の①’②’③が同時に成立しなくなってしまうため)
1≦√(2-2t^2)
|t|≦1/√2が必要になります。
後は平面αについて図を書いて見ればよいでしょう。

これ以降の回答は以下のアドレスもしくは学立会サイトのお問い合わせページよりお尋ねください!

mail : info@gakuritsukai.com

以上、質問への回答でした。
ご質問ありがとうございました。
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